Pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť (hovorovo šanca; značka je P z anglického probability) je hodnota vyčísľujúca istotu resp. neistotu výskytu určitej udalosti. Inak povedané: je to počet pravdivých udalostí k počtu možných udalostí. Napr.: pravdepodobnosť že učiteľ vyvolá jedného konkrétneho žiaka (napr. Adama) z desiatich je jedna ku desiatim (značí sa 1:10). Skúma ju teória pravdepodobnosti. Pravdepodobnostnú hodnotu nadobúdajú náhodné premenné.

Definície

Pravdepodobnosť možno definovať niekoľkými takmer ekvivalentnými definíciami.

Klasická definícia (Pierre Simone de Laplace)

Pravdepodobnosť = Počet relevantných prípadov/Počet všetkých možných prípadov. Inými slovami: Podiel počtu situácií, v ktorých sa stane to čo nás zaujíma, na súčte počtu situácií, v ktorých sa stane to čo nás zaujíma, a počtu situácií, v ktorých sa nestane to čo nás zaujíma.

Príklad

Otázka: „Aká je pravdepodobnosť, že konkrétneho človeka v Bratislave v daný deň zrazí auto?“ (inými slovami: „Aký je očakávaný podiel počtu zrazených ľudí (za deň) na všetkých ľuďoch prítomných v Bratislave?“)

Riešenie:

Počet relevantných = počet zrazených ľudí v Bratislave za deň (napríklad priemer podľa historických záznamov polície, čísla pozri b) = 97,25

Počet všetkých možných prípadov = počet ľudí prítomných v Bratislave (napríklad priemerný počet obyvateľov + počet turistov + počet ľudí dochádzajúcich za prácou podľa historických záznamov, čísla pozri b) = 507 250

Výsledok:

P = 97,25 / 507250 = 0,000192 (čiže 0.0192%)

Štatistická definícia (Richard von Mises)

Táto definícia je vlastne len akési upresnenie klasickej definície.

Pravdepodobnosť = číslo (presnejšia limita), ku ktorému sa pri mnohonásobnom opakovaní „pokusu“ blíži relatívna frekvencia javu (t. j. pomer počet relevantných prípadov / počet všetkých možných prípadov)

Príklad

Otázka: „Aká je pravdepodobnosť, že v Bratislave za deň niekoho zrazí auto?“

Riešenie: Urobíme nasledujúci „výpočet“ (v ideálnom prípade pre veľmi veľa dní) so zadanými údajmi o počte havárií a Bratislavčanov:

Deň	Počet zrazených ľudí	Počet ľudí v Bratislave	Relatívna frekvencia
dnes	85	490000	85/490000 = 0,0173 %
včera	96	510000	96/510000 = 0,0188 %
predvčerom	105	530000	105/500000 = 0,021 %
predpredvčerom	103	499000	103/499000 = 0,0206 %
. . .

Výsledok:

Teraz by sme mali teoreticky podľa tejto tabuľky vypočítať (alebo nakresliť graf „relatívna frekvencia -- počet ľudí v Bratislave“ a v ňom nájsť) číslo, ku ktorému sa blíži relatívna frekvencia.

Zjednodušene sa však väčšinou jednoducho počíta tzv. priemerná relatívna frekvencia, čiže:

P = (85 + 96 + 105 + 103) / (490000 + 510000 + 530000 + 499000) = 0,000192 (čiže 0,0192%)

K číslu 0,0192 % by sme dospeli, aj keby sme počítali P = priemer počtu zrazených ľudí / priemer počtu ľudí v Bratislave, a to je vlastne klasická definícia pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť ako miera presvedčenia (Thomas Bayes)

Táto definícia hovorí, že pravdepodobnosť je číslo medzi 0 a 1, ktoré je mierou nášho presvedčenia o realizácii nejakého javu alebo presvedčenia o pravdivosti nejakého tvrdenia. Pod realizáciou javu tu môžeme mať na mysli napríklad výhru domácich vo futbale, pod pravdivosťou nejakého tvrdenia zase pravdepodobnosť, že hmotnosť Saturnu sa nachádza v nejakom dopredu zvolenom intervale. Zvlášť druhá spomínaná možnosť je pri fyzikálnom výskum častá (experimentálne hľadáme hodnoty rôznych konštánt, hmotnosti elementárnych častíc, atď.), no z frekvencionistického pohľadu nemá žiadny zmysel. So Saturnom totiž nemôžeme urobiť viac pokusov - jeho hmotnosť je daná a v danom intervale buď leží alebo neleží - problém je iba v tom, že my nepoznáme odpoveď.

Axiomatická definícia (Andrej Nikolajevič Kolmogorov)

Pravdepodobnosť $P(A)$ náhodnej udalosti $A$ je v tomto prípade reálna funkcia, ktorá každej náhodnej udalosti $A$ priradí určité reálne číslo $P(A)$ , pričom platia tieto axiómy:

$P(A)\geq 0$
$P(\Omega )=1$ , ak $\Omega$ je istá udalosť
Nech $A_{1},A_{2},...,A_{n},...$ je postupnosť disjunktných náhodných udalostí (t.j. takých, že žiadne dve z nich nemôžu nastať súčasne). Potom pravdepodobnosť, že aspoň jedna z nich pri náhodnom pokuse nastane, sa rovná súčtu ich pravdepodobností:

$P(A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n}\cup ...)=P(A_{1})+P(A_{2})+...+P(A_{n})+...$

Pravdepodobnosť je tu definovaná pomocou niekoľkých axióm ako objektívna vlastnosť náhodnej udalosti. Táto definícia však nedáva jednoznačný návod na jej výpočet.

Vlastnosti

Pravdepodobnosť vždy patrí intervalu $<0,1>$
Pravdepodobnosť nemožného javu je 0 (0%), pravdepodobnosť istého javu je 1 (100%)
Súčet jednotlivých pravdepodobností všetkých možných prípadov je 1 (100%)
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Iné projekty

Wikicitáty ponúkajú citáty od alebo o Pravdepodobnosť
Commons ponúka multimediálne súbory na tému Pravdepodobnosť
Wikislovník ponúka heslo pravdepodobnosť