Ортогональность

Ортогона́льность (от греч. ὀρθογώνιος — прямоугольный) — свойство, обобщающее понятие перпендикулярности на произвольные линейные пространства с введённым скалярным произведением: если скалярное произведение двух элементов пространства равно нулю, то они называются ортогональными друг другу. Термин впервые использовался у Евклида.

Важной особенностью понятия является его привязка к конкретному используемому скалярному произведению: при смене произведения ортогональные элементы могут стать неортогональными, и наоборот.

Два линейных пространства ортогональны, если каждый элемент одного из них ортогонален любому элементу из другого. Это определение позволяет говорить о перепендикулярности двух прямых или прямой и плоскости в трёхмерном пространстве как об ортогональности (но не перпендикулярности двух плоскостей).

Ортогональная система — множество элементов, попарно ортогональных друг другу; каждую ортогональную систему можно преобразовать в ортонормированную — в которой каждый элемент приведён к единичной норме (во всех пространствах со скалярным произведением можно ввести норму). Ортогональная (ортономированная) система со свойством полноты образует ортогональный (ортонормированный) базис. Ортогональная матрица — матрица, столбцы которой образуют ортогональный базис.

Ортогональное преобразование — линейное преобразование, сохраняющее скалярное произведение; ортогональные преобразования заданного векторного пространства образуют ортогональную группу.

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е, исправленное. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с. — 5000 экз. экз. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. — М.: Мир, 1980. — 454 с.