Разность множеств

Не следует путать с Симметрическая разность.

Разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств $A$ и $B$ обозначается как $A\setminus B$, но иногда можно встретить обозначение $A-B$ и $A\sim B$

Пусть $A$ и $B$ — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):

$A\setminus B=\{x\in A\mid x\not \in B\}.$

Это множество часто называют дополнением множества $B$ до множества $A$.

Обычно предполагается, что рассматриваются подмножества одного и того же множества, которое, в этом случае называют универсумом, скажем, $X$. Тогда можно рассматривать вместе с каждым множеством $A\subset X$ и его относительное дополнение $X\setminus A$, при обозначении которого часто опускается значок универсума: $\setminus A$; при этом говорится, что $\setminus A$ — (просто) дополнение множества (без указания, дополнением до чего является данное множество).

С учётом данного замечания, оказывается, что $A\setminus B=A\cap (\setminus B)$, то есть дополнение множества $B$ до множества $A$ есть пересечение множества $A$ и дополнения множества $B$.

Также применяется и операторная запись вида $A^{\complement }$, $C_{X}A$ или (если опустить универсальное множество) $CA$.

Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению входящим в ней множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятием симметрической разности.

Примеры

• Пусть $A=\{1,2,3,4\},\;B=\{3,4,5,6,7\}$. Тогда $A\setminus B=\{1,2\},\;B\setminus A=\{5,6,7\}.$
• Пусть $\mathbb {R}$ — множество всех вещественных чисел, $\mathbb {Q}$ — множество рациональных чисел, а $\mathbb {Z}$ — множество целых чисел. Тогда $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ — множество всех иррациональных чисел, а $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z}$ — дробных.

Свойства

Пусть $A,\,B,\,C,\,D$ — произвольные

• Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество:

$A\setminus A=\emptyset .$

• Свойства пустого множества относительно разности:

$\emptyset \setminus A=\emptyset ,$

$A\setminus \emptyset =A.$

• Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:

$A\setminus B\subset A.$

• $A\cup \left(B\setminus A\right)=A\cup B.$ Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (т.е. объединения).
• $A\setminus B=A\setminus \left(A\cap B\right)$
• Разность не пересекается с вычетаемым:

$A\cap \left(B\setminus A\right)=\emptyset .$

• Разность множеств равна пустому множеству тогда, и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычетаемом:

$A\setminus B=\emptyset \quad \Leftrightarrow \quad A\subset B.$

• Законы де Моргана в алгебре множеств формулируются следующим образом:

$A\setminus \left(B\cap C\right)=\left(A\setminus B\right)\cup \left(A\setminus C\right),$

$A\setminus \left(B\cup C\right)=\left(A\setminus B\right)\cap \left(A\setminus C\right).$

• $\left(A\cup B\right)\setminus C=\left(A\setminus C\right)\cup \left(B\setminus C\right);$
• $A\setminus \left(B\setminus C\right)=\left(A\setminus B\right)\cup \left(A\cap C\right);$
• $A\setminus \left(B\cup C\right)=\left(A\setminus B\right)\setminus C;$
• $(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A);$
• $(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus A;$ если $C\cap A=\emptyset$.

• Если $A\subset B$ и $C\subset D,$ то $\left(A\setminus D\right)\subset \left(B\setminus C\right);$
• Если $A\subset B,$ то для любого $C$ выполняется $\left(C\setminus B\right)\subset \left(C\setminus A\right).$ Это соотношение имеет свой аналог в арифметике: если $a\leqslant b,$ то для любого $c$ справедливо $\left(c-b\right)\leqslant \left(c-a\right).$

Компьютерные реализации

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

В языке программирования Pascal (а также в его объектном расширении Object Pascal) операция разности множеств представлена оператором «-», обоими операндами и результатом выполнения которого являются значения типа set.

Дополнение множества

Определение

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсума $X$, то определяется операция дополнения:

$A^{\complement }=X\setminus A\equiv \{x\in X\mid x\not \in A\}.$

Свойства

• Операция дополнения является унарной операцией на булеане $2^{X}.$
• Законы дополнения:

• $A\cup A^{\complement }=X;$
• $A\cap A^{\complement }=\emptyset ;$

В частности, если оба $A$ и $A^{\complement }$ непусты, то $\left\{A,A^{\complement }\right\}$ является разбиением $X$.

• $X^{\complement }=\emptyset ;$
• $\emptyset ^{\complement }=X;$
• $(A\subset B)\Leftrightarrow \left(B^{\complement }\subset A^{\complement }\right).$

• Операция дополнения является инволюцией:

$\left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.$

• Законы де Моргана:

• $(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement };$
• $(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.$

• Законы разности множеств:

• $A\setminus B=A\cap B^{\complement };$
• $(A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B.$

См. также

• Операции над множествами

Литература

• Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Физматлит, 2004. — 256 с.
• К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 16, 20—22.