Różniczka zupełna

Pochodna, różniczka, czasami: różniczka zupełna funkcji $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ w punkcie $a\in \mathbb {R} ^{n}$ to przekształcenie liniowe $df(a)\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ będące najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu funkcji $f$ w tym punkcie. Różniczkę zupełną da się przedstawić w postaci

$df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)dx^{i},$

gdzie $dx^{i}:=d\pi ^{i}$ to pochodne rzutowań na $i$-tą współrzędną względem bazy standardowej $\mathbb {R} ^{n},$ tzn. funkcji $\pi ^{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ i=1,\dots ,n$ danych wzorami

$\pi ^{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=x_{i}.$

Różniczka (tzn. przekształcenie dane wzorem $x\mapsto df(x)$) jest przykładem $1$-formy różniczkowej.

Definicja

Niech $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ będzie zbiorem otwartym. Niech $f\colon U\to \mathbb {R}$ będzie funkcją różniczkowalną w punkcie $a\in U.$ Wówczas różniczka zupełna funkcji $f$ w punkcie $a$ to jej pochodna w punkcie $a,$ czyli przekształcenie liniowe $df(a)\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ które w pewnym sensie jest najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu

$f(a+h)-f(a).$

W szczególności można napisać

$f(a+h)-f(a)\approx df(a)(h)$

dla dowolnego $h\in \mathbb {R} ^{n}$ takiego, że $a+h\in U.$

Postać kanoniczna

Pochodna $df(a)$ ma macierz w bazie standardowej $\mathbb {R} ^{n}$

$[df(a)]=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)\ldots {\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right].$

Wynika z tego, że pochodna $df(a)$ jest dana wzorem

$df(a)(h_{1},\dots ,h_{n})=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)\ldots {\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right]{\begin{bmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)h_{i}.$

W szczególności rzutowania $\pi ^{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ i=1,\dots ,n$ na $i$-tą współrzędną względem bazy standardowej $\mathbb {R} ^{n},$ tzn. funkcje dane wzorami

$\pi ^{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=x_{i}$

są różniczkowalne i ich pochodne są dane wzorami

$d\pi ^{i}(a)(h_{1},\dots ,h_{n})=h_{i},\ i=1,\dots ,n$

dla dowolnego $a\in \mathbb {R} ^{n}.$

Widzimy, że różniczkę można zapisać w postaci

$df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)d\pi ^{i}$

(dla prosty oznaczeń piszemy $d\pi ^{i}$ zamiast $d\pi ^{i}(a)$), którą nazywamy postacią kanoniczną. Oznaczając pochodne $d\pi ^{i}$ przez $dx^{i},$ można powyższemu wzorowi nadać klasyczną formę

$df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)dx^{i}.$

Przykład

Różniczka funkcji $f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ różniczkowalnej w punkcie $a\in \mathbb {R} ^{3}$ ma postać kanoniczną

$df(a)={\frac {\partial f}{\partial x}}(a)dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}(a)dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}(a)dz,$

gdzie:

$dx(h_{1},h_{2},h_{3})=h_{1},\quad dy(h_{1},h_{2},h_{3})=h_{2},\quad dz(h_{1},h_{2},h_{3})=h_{3}$

(dla uproszczenia piszemy $dx$ zamiast $dx(a)$ itd.).

Przybliżanie przyrostu funkcji za pomocą różniczki

Z definicji różniczki wynika, że za jej pomocą można przybliżać przyrost funkcji. Z własności różniczki wynika, że to przybliżenie ma postać

$\Delta f:=f(a+\Delta x)-f(a)\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\Delta x_{i}$

dla dowolnego $\Delta x=(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ takiego, że $a+\Delta x$ należy do dziedziny $f.$ To przybliżenie jest tym lepsze im mniejsze co do normy jest $\Delta x.$

Trochę nadużywając notacji można $dx^{i}$ we wzorze

$df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)dx^{i}$

interpretować jako przyrosty argumentów funkcji $f.$ Oznaczenie $dx^{i}$ odzwierciedla wtedy to, że zakłada się, że są one małe. W szczególności, trochę nadużywając notacji, można napisać, że np.

$f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\approx df(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dy.$

Różniczka zupełna jako 1-forma

Niech $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ będzie zbiorem otrwartym. Różniczkowalna funkcja $f\colon U\to \mathbb {R}$ indukuje odwzorowanie $df$ z $U$ w ${\cal {L(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ),}}$ tj. w przestrzeń przekształceń liniowych z $\mathbb {R} ^{n}$ w $\mathbb {R}$ dane wzorem

$x\mapsto df(x).$

Przekształcenie $df$ nazywamy pochodną funkcji $f$ albo różniczką funkcji $f.$ Przekształcenie $df$ spełnia definicję $1$-formy. Różniczka jest zatem $1$-formą na zbiorze otwartym $U.$ Ogólna $1$-forma na zbiorze otwartym $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ma postać kanoniczną

$\omega =\sum _{i=1}^{n}f_{i}dx^{i},$

gdzie współczynniki $f_{i}$ to dowolne funkcje rzeczywiste i niekonicznie muszą być pochodnymi cząstkowymi innej funkcji. Ogólna $2$-forma na zbiorze otwartym w $\mathbb {R} ^{3}$ ma postać kanoniczną

$\omega =f\ dx\wedge dy+g\ dx\wedge dz+h\ dy\wedge dz,$

gdzie $\wedge$ to iloczyn zewnętrzny. Ogólna $k$-forma na zbiorze otwartym w $\mathbb {R} ^{n}$ ma postać

$\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1},\dots ,i_{k}}\ dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}.$

O formie różniczkowej mówi się z definicji, że jest klasy $C^{r}$ lub klasy $C^{\infty }$ jeżeli takimi są funkcje $f_{i_{1},\dots ,i_{k}}.$

Pochodną zewnętrzną $k$-formy $\omega$ nazywa się następującą $(k+1)$ formę

$d\omega :=\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}df_{i_{1},\dots ,i_{k}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}.$

O formie różniczkowej która jest postaci $\omega =d\eta$ dla pewnej formy $\eta$ mówi się, że jest dokładna. O formie różniczkowej, której pochodna zewnętrzna znika mówi się, że jest zamknięta. Z twierdzenia Schwarza i własności iloczynu zewnętrznego wynika, że

$d(d\omega )\equiv 0$

o ile tylko funkcje $f_{i_{1},\dots ,i_{k}}$ są klasy co najmniej $C^{2},$ a zatem każda forma dokładna (i klasy co najmniej $C^{1}$) jest zamknięta. Odwrotna implikacja nie musi być prawdziwa, ale jak wynika z Lematu Poincarégo jest prawdziwa na zbiorach otwartych i gwiaździstych.

W szczególności z definicji pochodnej zewnętrznej wynika, że różniczka (zupełna) $df$ jest pochodną zewnętrzną $0$-formy $\omega =f,$ czyli zwykłej funkcji. Wynika stąd, że różniczka (zupełna) jest dokładna i zamknięta.

Całka po krzywej zamkniętej

Ponieważ różniczka $df$ jest $1$-formą to można rozważać jej całkę jako całkę z formy po $1$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej, czyli po krzywej.

$\int _{\gamma }df.$

Ogólne twierdzenie Stokesa mówi, że całka $(n-1)$-formy $\omega$ po brzegu $\partial M$ $n$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej $M$ jest równa (brzeg jest wówczas rozmaitością różniczkową $(n-1)$ wymiarową)

$\int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega .$

Krzywa zamknięta $\partial M$ jest brzegiem pewnej 2-wymiarowej rozmaitości różniczkowej, czyli powierzchni w $\mathbb {R} ^{n}.$ Ponieważ różniczka (zupełna) jest zamknięta to z twierdzenia Stokesa dostajemy

$\int _{\partial M}df=\int _{M}d(df)=\int _{M}0=0,$

a zatem całka z różniczki (zupełnej) po krzywej zamkniętej znika.

Niezależność od drogi całkowania

Rozpatrzmy dwa dowolne punkty $A,B\in \mathbb {R} ^{n}$ oraz dwie dowolne krzywe je łączące – krzywą $\gamma _{1}$ biegnącą z punku $A$ do punktu $B$ oraz krzywą $\gamma _{2}$ biegnącą z punktu $B$ do punktu $A.$ Krzywe $\gamma _{1}$ i $\gamma _{2}$ tworzą razem 1-wymiarową rozmaitość różniczkową kawałkami gładką dla której prawdziwe jest Ogólne Twierdzenie Stokesa. Z dyskusji w poprzednim rozdziale dostajemy

$\int _{\gamma _{1}}df+\int _{\gamma _{2}}df=0,$

czyli

$\int _{\gamma _{1}}df=-\int _{\gamma _{2}}df.$

Zamieniając parametryzację krzywej $\gamma _{2}$ na przeciwną, dostajemy

$\int _{\gamma _{1}}df=\int _{-\gamma _{2}}df.$

Oznacza to, że całka od punktu $A$ do $B$ z $df$ nie zależy od drogi całkowania.

Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnej

Tw. Jeżeli mamy dane wyrażenie Pfaffa postaci

$\sum _{i=1}^{n}{f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})dq_{i}},$

gdzie $f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),i=1,\dots ,n$ – dane funkcje zmiennych $q_{1},q_{2},\dots ,q_{n},$

to jest ono różniczką zupełną $df$ pewnej funkcji $f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),$ jeżeli dla każdego $i,j$ zachodzi:

${\frac {\partial f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial f_{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}.$

Dowód:

Wychodząc z wyrażenia na różniczkę zupełną $df,$ widzimy, że funkcje $f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$ mają postacie

$f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})={\frac {\partial f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}$

i powyższy warunek na istnienie różniczki zupełnej funkcji $f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$ sprowadza się do żądania, by równe były pochodne cząstkowe drugiego rzędu

${\frac {\partial ^{2}f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{j}\partial q_{i}}}={\frac {\partial ^{2}f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}$

– wymóg ten jest zawsze spełniony, jeżeli istnieją powyższe pochodne, cnd.

Zobacz też

• forma różniczkowa
• forma wieloliniowa
• pochodna funkcji wektorowej wielu zmiennych

Bibliografia

• Michael Spivak: Analiza matematyczna na rozmaitościach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• 1. Pochodne cząstkowe; 2. Różniczki, 2.1. Różniczka zupełna; Filip A. Wudarski na: www.fizyka.umk.pl (Materiay MMF)