Ten artykuł należy dopracować:
Entropia topologiczna – wykładnicze tempo wzrostu liczby segmentów orbity układu dynamicznego odróżnianych z dowolnie dobrą, ale skończoną dokładnością. W tym sensie, entropia topologiczna opisuje w toporny, ale sugestywny sposób całkowitą wykładniczą złożoność struktury orbity poprzez jedną tylko liczbę. Układy chaotyczne wyróżniają się posiadaniem dodatniej entropii, a sama entropia topologiczna jest niczym innym jak tempem wzrostu orbit okresowych. Zatem stosownie jest patrzeć na entropię jak na ilościową miarę chaosu w układzie dynamicznym[1]
Metryka Bowena-Dinaburga
edytuj
Niech
f
:
X
→
X
{\displaystyle f\colon X\to X}
zwartej przestrzeni metrycznej
X
{\displaystyle X}
d
.
{\displaystyle d.}
Zdefiniujmy ciąg rosnący metryk
d
n
f
,
{\displaystyle d_{n}^{f},}
n
=
1
,
2
,
.
.
.
,
{\displaystyle n=1,2,...,}
d
1
f
=
d
,
{\displaystyle d_{1}^{f}=d,}
d
n
f
(
x
,
y
)
=
max
0
≤
i
≤
n
−
1
{
d
(
f
i
(
x
)
,
f
i
(
y
)
)
}
{\displaystyle d_{n}^{f}(x,y)=\max _{0\leq i\leq n-1}\{d(f^{i}(x),f^{i}(y))\}}
Innymi słowy,
d
n
f
{\displaystyle d_{n}^{f}}
O
n
(
x
)
=
{
x
,
.
.
.
,
f
n
−
1
(
x
)
}
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}(x)=\{x,...,f^{n-1}(x)\}}
O
n
(
y
)
=
{
y
,
.
.
.
,
f
n
−
1
(
y
)
}
.
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}(y)=\{y,...,f^{n-1}(y)\}.}
Definicja entropii topologicznej
edytuj
Niech
N
d
(
f
,
r
,
n
)
{\displaystyle N_{d}(f,r,n)}
X
{\displaystyle X}
r
{\displaystyle r}
d
n
f
.
{\displaystyle d_{n}^{f}.}
O takim zbiorze mówimy, że jest
(
n
,
r
)
{\displaystyle (n,r)}
n
,
{\displaystyle n,}
r
.
{\displaystyle r.}
Rozważmy wykładniczą prędkość wzrostu
h
d
(
f
,
r
)
:=
lim
¯
n
→
∞
1
n
log
N
d
(
f
,
r
,
n
)
{\displaystyle h_{d}(f,r):=\varlimsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log N_{d}(f,r,n)}
N
d
(
f
,
r
,
n
)
.
{\displaystyle N_{d}(f,r,n).}
Oczywiście liczba
h
d
(
f
,
r
)
{\displaystyle h_{d}(f,r)}
r
,
{\displaystyle r,}
h
d
(
f
)
:=
lim
r
→
0
h
d
(
f
,
r
)
.
{\displaystyle h_{d}(f):=\lim _{r\to 0}h_{d}(f,r).}
Liczbę
h
(
f
)
:=
h
top
(
f
)
:=
h
d
(
f
)
{\displaystyle h(f):=h_{\text{top}}(f):=h_{d}(f)}
f
.
{\displaystyle f.}
edytuj
Jeśli
d
′
{\displaystyle d'}
X
{\displaystyle X}
d
,
{\displaystyle d,}
h
d
′
(
f
)
=
h
d
(
f
)
.
{\displaystyle h_{d'}(f)=h_{d}(f).}
Entropia topologiczna jest niezmiennikiem sprzężenia topologicznego .
Entropia topologiczna odwzorowań zwężających oraz izometrii jest zerowa.
Jeżeli
Λ
{\displaystyle \Lambda }
niezmienniczym , to
h
t
o
p
(
f
↾
Λ
)
≤
h
t
o
p
(
f
)
.
{\displaystyle h_{top}(f_{\upharpoonright \Lambda })\leq h_{top}(f).}
Jeżeli
X
=
⋃
i
=
1
m
Λ
i
,
{\displaystyle X=\bigcup _{i=1}^{m}\Lambda _{i},}
Λ
i
{\displaystyle \Lambda _{i}}
h
t
o
p
(
f
)
=
max
1
≤
i
≤
m
h
t
o
p
(
f
↾
Λ
i
)
.
{\displaystyle h_{top}(f)=\max _{1\leq i\leq m}h_{top}(f_{\upharpoonright \Lambda _{i}}).}
h
t
o
p
(
f
m
)
=
|
m
|
⋅
h
t
o
p
(
f
)
.
{\displaystyle h_{top}(f^{m})=|{m}|\cdot h_{top}(f).}
Jeżeli odwzorowanie
g
{\displaystyle g}
faktorem odwzorowania
f
,
{\displaystyle f,}
h
t
o
p
(
g
)
≤
h
t
o
p
(
f
)
.
{\displaystyle h_{top}(g)\leq h_{top}(f).}
h
t
o
p
(
f
×
g
)
=
h
t
o
p
(
f
)
+
h
t
o
p
(
g
)
,
{\displaystyle h_{top}(f\times g)=h_{top}(f)+h_{top}(g),}
f
:
X
→
X
,
{\displaystyle f\colon X\rightarrow X,}
g
:
Y
→
Y
,
{\displaystyle g\colon Y\rightarrow Y,}
f
×
g
:
X
×
Y
→
X
×
Y
{\displaystyle f\times g\colon X\times Y\to X\times Y}
(
f
×
g
)
(
x
,
y
)
=
(
f
(
x
)
,
g
(
y
)
)
.
{\displaystyle (f\times g)(x,y)=(f(x),g(y)).}
↑ Boris Hasselblatt, Anatole Katok: A first course in dynamics with a Panorama of Recent Developments, Cambridge University Press, 2003.
