Den generelle relativitetsteorien: Forskjell mellom sideversjoner
Slettet innhold Innhold lagt til
m Robot: Retter lenke til peker: Rom - Endret lenke(r) til Rom (matematikk) |
m Tilbakestilte endring av ~2024-11680 (bidrag) til siste versjon av Phidus Tagg: Tilbakestilling |
||
| (17 mellomliggende versjoner av 9 brukere er ikke vist) | |||
Linje 1:
[[Fil: Einstein 1921 by F Schmutzer - restoration.jpg|thumb|[[Albert Einstein]] i 1921, vel et år etter hans generelle relativitetsteori viste seg å være riktig.]]
'''Den generelle relativitetsteorien''' er en [[geometri]]sk teori som beskriver hvordan [[materie]] former egenskapene til [[tidrom]]met den befinner seg i og hvordan denne beveger seg i dette. Dermed gir teorien en helt ny forklaring av [[tyngdekraft|tyngdekrefter]] som tidligere ble beskrevet ved [[Newtons gravitasjonslov]]. Den ble utviklet av [[Albert Einstein]] og fikk sin endelige form i november 1915. Mens hans [[
Under utformingen av teorien viste Einstein hvordan lys som passerer Solen, vil bli avbøyd av dens gravitasjonsfelt. Da dette ble bekreftet ved målinger under en [[solformørkelse]] i 1919, fikk teorien sitt
All moderne [[kosmologi]] er basert på Einsteins generelle relativitetsteori hvor [[Universet]]s ekspansjon er en naturlig følge. De mest presise konsekvenser av teorien er blitt verifisert ved egenskaper til den [[kosmisk bakgrunnsstråling|kosmiske bakgrunnsstrålingen]].
Linje 8:
==Sammenfatning==
Mens den [[spesiell relativitetsteori|spesielle relativitetsteorien]] er basert på at [[lyshastigheten]] er den samme i alle [[inertialsystem]], er den generelle teorien en konsekvens av [[ekvivalensprinsippet]] som forbinder [[akselerasjon]] og [[gravitasjon]]. Det betyr at i et lite område av rommet hvor det virker tyngdekrefter, kan man i et kort tidsrom alltid finne et [[referansesystem]] hvor disse ikke opptrer og hvor den spesielle teorien derfor er gyldig. På den måten er den generelle relativitetsteorien en utvidelse av den spesielle til å gjelde i alle referansesystem i vilkårlig bevegelse i forhold til hverandre.<ref name="MTW">C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, ''Gravitation'', W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.</ref>
Dette er analogt med at på en krum [[flate]] kan man alltid i et lite område bruke [[euklidsk geometri]] hvor der ikke er noen [[krumning]]. Hele flaten kan betraktes som sammensatt av slike mindre områder og må beskrives med todimensjonal, [[riemannsk geometri]]. På samme måte må [[tidrom]]met hvor der virker tyngdekrefter, beskrives med den samme geometrien utvidet til fire dimensjoner. Det som oppleves som tyngdekrefter, er effekten av krumningen til tidrommet uttrykt ved [[tensor#Einstein og Grossmann|Riemanns krumningstensor]] {{nowrap|''R<sup>μ</sup><sub>ναβ</sub>''}}.
Egenskapene til et [[Rom (matematikk)|rom]] beskrevet ved riemannsk geometri, er inneholdt i den [[metrisk tensor|metriske tensoren]] ''g<sub>μν</sub>''. Den gir avstanden ''ds'' mellom to nærliggende punkt som er adskilt med en koordinatforskjell ''dx<sup>μ</sup>'' som kan uttrykkes ved
: <math> ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu </math>
Linje 46:
der Φ nå er potensialforskjellen Φ<sub>2</sub> - Φ<sub>1</sub>. Hvis lyset altså beveger seg til et sted med høyere potensial slik at Φ > 0, vil det få mindre frekvens og derfor være [[rødforskyvning|rødforskjøvet]]. Omvendt, hvis man betrakter en klokke på et sted med et høyere potensial enn der man er, vil man se at den går raskere enn den lokale klokken.
[[Fil:Elevator gravity.svg|left|thumb|
På dette første trinn i utviklingen av teorien prøvde Einstein å forklare dette fenomenet med at lyshastigheten kunne være avhengig av størrelsen til gravitasjonspotensialet slik at man kunne tilskrive det en effektiv [[brytningsindeks]]. Det ville i så fall bety at en lysstråle vil avbøyes av tyngdekraften.
Linje 61:
Etter ett års anstrengelser publiserte de resultatet av sitt samarbeid i en stor avhandling med tittelen ''Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und eine Theorie der Gravitation'' i 1913.<ref name = Entwurf>A. Einstein und M. Grossmann, ''Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation'', Zeitschrift für Mathematik und Physik '''62''', 225-261 (1914).</ref> I ettertid er denne viktige publikasjonen blitt omtalt som «Entwurf-avhandlingen» hvor det tyske ordet ''Entwurf '' betyr utkast. Einstein skrev den første delen som omhandlet hvordan tyngdekrefter kunne beskrives som en geometrisk effekt, mens den andre delen var skrevet av Grossmann og ga en presentasjon av riemannsk geometri og [[tensor]]analyse.<ref name="Renn">H. Gutfreund and J. Renn, ''The Road to Relativity'', Princeton University Press, New Jersey (2017). ISBN 978-0-691-17581-2.</ref>
I stedet for å beskrive gravitasjon ved en skalært potensial Φ, var det nødvendig å erstatte dette med de ti komponentene til den [[metrisk tensor|metriske tensoren]] ''g<sub>μν</sub>'' for tidrommet. For å få
Omtrent på samme tid utviklet den finske fysiker [[Gunnar Nordstrøm]] en relativistisk gravitasjonsteori basert på det skalare gravitasjonspotensialet Φ.<ref name = Norstrom>J.D. Norton, [http://www.pitt.edu/~jdnorton/papers/Nordstroem.pdf ''Einstein, Nordström and the early demise of scalar, Lorentz-covariant theories of gravitation''], Archive for History of Exact Sciences '''45''' (1), 17–94 (1992).</ref> Einstein så med interesse på denne alternative teorien selv om den ikke hadde alle de fysiske egenskapene han ønsket seg. Sammen med sin student [[Adriaan Fokker]] viste han på begynnelsen av 1914 at den tillot bare tidrom hvor metrikken hadde den spesielle formen<ref name = EinstenFokker>A. Einstein und A.D. Fokker, [http://myweb.rz.uni-augsburg.de/~eckern/adp/history/einstein-papers/1914_44_321-328.pdf ''Die Nordströmsche Gravitationstheorie vom Standpunkt des absoluten Differentialkalküls''], Annalen der Physik '''44''', 321-328 (1914).</ref>
Linje 155:
===Verifikasjon===
Den første og viktigste verifikasjon av Einsteins gravitasjonsteori fant sted i forbindelse med solformørkelsen som fant sted den i 29. mai
==Mottagelse i Norge==
Linje 169:
===Einstein i Oslo===
[[Fil:Einstein-Oslofjord.jpg|thumb|400px|Einstein sammen med [[Heinrich Jacob Goldschmidt|Heinrich Goldschmidt]] på piknik ved Oslofjorden. Sittende i midten [[Ole Colbjørnsen]] og helt til høyre Einsteins stedatter Ilse Einstein med [[Jørgen Vogt]] delvis skjult bak seg.]]
Høsten 1919 var blant andre Ole Colbjørnson og [[Jonas Schanche Jonasen]] valgt inn i styret i [[Det Norske Studentersamfund]]. Begge ivret for en forsonende linje overfor [[Tyskland]] etter [[den første verdenskrig]]. Året etter var studentene Schanche Jonasen og Schelderup i Berlin, mens Colbjørnsen var blitt valgt til nestformann i Studentersamfundet. Han var da med å få vedtatt at de skulle invitere Einstein til Oslo for å gi offentlige forelesninger om sine nye teorier. De to studentene i Berlin tok kontakt, og Einstein sa seg villig til å komme. Oppholdet fant sted i tidsrommet fra 13. til 20. juni
===Senere utvikling===
Linje 178:
==Geometrisk oppbygning==
Den generelle relativitetsteorien er
Det er vanlig å beskrive relativistisk fysikk med
To nærliggende hendelser i tidrommet er adskilt ved en koordinatdifferans ''dx<sup>α</sup>'' som avhenger av hvilket referansesystem man velger å bruke. Men det kvadratiske linjeelementet ''ds''<sup>2</sup> = ''dt''<sup> 2</sup> - ''d'' '''x'''<sup>2</sup> forblir invariant under et slikt valg.
Linje 310:
==Newtonsk grense==
Geometrien til tidrommet og dermed også all fysikk i det krumme tidrommet er gitt ved den metriske tensoren ''g<sub>μν</sub>''. Den kan i det generelle tilfellet finnes som løsning av [[Einsteins feltligning]]. Denne fant Einstein i 1915 ved å forlange at den måtte være i overensstemmelse med [[Newtons gravitasjonslov]] for svake felt og gi [[Newtons lover|Newtons andre lov]] for partikkelbevegelse ved lave hastigheter ''v'' << ''c'' = 1. Dette kalles vanligvis for den «newtonske grense» hvor lovene for ikke-relativistisk fysikk gjelder.<ref name = TW>
Lokalt kan Newtons lov for [[tyngdekraft]]en skrives som en [[differensialligning]] av andre orden for [[gravitasjonspotensial]]et Φ = Φ('''x'''),
Linje 322:
: <math> E^{\mu\nu} = \kappa T^{\mu\nu} </math>
hvor ''κ'' måtte være en eller annen naturkonstant.<ref name="BG">
Fra [[Riemanns differensialgeometri]] visste Einstein og hans matematiske medarbeider Grossmann at det fantes kun to slike størrelser, nemlig [[Riemanns differensialgeometri#Ricci-tensoren|Ricci-tensoren]] ''R<sub>μν</sub>'' og dens spor {{nowrap|''R'' {{=}} ''R<sup>μ</sup><sub>μ</sub>''}}. Ut fra kravet {{nowrap|∇''<sub>μ</sub>T<sup> μν</sup>'' {{= }} 0}} om bevarelse av energi og impuls, må derfor også {{nowrap|∇''<sub>μ</sub>E<sup> μν</sup>'' {{= }} 0}} være oppfylt. Fra en [[Riemanns differensialgeometri#Symmetrier|Bianchi-identitet]] følger det da at den geometriske Einstein-tensoren må være den spesielle kombinasjonen
: <math> E^{\mu\nu} = R^{\mu\nu} - {1\over 2}g^{\mu\nu}R </math>
Linje 341:
: <math> \Gamma^\mu_{\;00} = - {1\over 2}g^{\mu\nu}{\partial g_{00}\over\partial x^\nu} </math>
Da metrikken i denne grensen er antatt å skille seg lite fra den flate Minkowski-metrikken, kan man skrive
: <math> g_{\mu\nu}(x) = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}(x) </math>
Linje 379:
==Tid og rom i tidrommet==
Av de fire koordinatene {{nowrap|''x<sup>μ</sup>'' {{=}} (''x''<sup>0</sup>,''x''<sup>1</sup>,''x''<sup>2</sup>,''x''<sup>3</sup>)}} vil det være en tidskoordinat som vanligvis betegnes som '''koordinattid''' {{nowrap|''t'' {{=}} ''x''<sup>0</sup>}} med tilhørende metrisk komponent {{nowrap|''g''<sub>00</sub> > 1}}. De tre andre koordinatene angir romlig posisjon i tidrommet. Som i den spesielle relativitetsteorien tenker man seg at hver slik posisjon finnes en observatør som kjenner sine egne koordinater og er utstyrt med en standard klokke.<ref name = TW/> Den viser observatørens [[egentid]] ''τ'' som i
: <math> ds^2 = d\tau^2 = g_{00}(x) dt^2 </math>
Linje 397:
Alternativt kan man finne dette resultatet ved å betrakte lyssignalet som en strøm av [[foton]]er. Hvert foton har da en fireimpuls som kan finnes fra den kovariante Lagrange-funksjonen ''L'' som
: <math> p_\mu = \partial L/\partial \dot{x}^\mu = g_{\mu\nu}\dot{x}^\nu </math>
hvor den prikkderiverte her er med hensyn på en kurveparameter ''λ''. Hvis nå metrikken er statisk og derfor uavhengig av koordinaten {{nowrap|''t'' {{=}} ''x''<sup>0</sup>}}, er denne koordinaten [[Variasjonsregning|syklisk]] slik at den [[Lagrange-mekanikk|konjugerte impulsen]] {{nowrap|''p''<sub>0</sub>}} har en konstant verdi. Her, som i [[kovariant relativitetsteori|spesiell relativitetsteori]], vil en observatør med firehastighet {{nowrap|''u<sup>μ</sup>''}} måle en energi for fotonet med verdi {{nowrap|''E'' {{=}} ''u⋅p''}}. Da observatøren er i ro og man alltid har at {{nowrap|''u⋅u'' {{=}} 1}}, vil {{nowrap|''g''<sub>00</sub>''u''<sup>0</sup>''u''<sup>0</sup> {{=}} 1}}. Dermed er den observerte energien {{nowrap|''E'' {{=}} ''u''<sup>0</sup>''p''<sub>0</sub>}}. Da denne er proporsjonal med frekvensen til fotonet og {{nowrap|''p''<sub>0</sub>}} er konstant, gir dette samme formel for rødforskyvningen.
Linje 411:
Da refleksjonen tilbake har ''dx<sup>k</sup>'' med motsatt fortegn, vil det totale tidsforløpet på standardklokken være
: <math> d\tau = \sqrt{g_{00}}dx^0 = 2\sqrt{(g_{0i}g_{0j}/g_{00} - g_{ij})dx^i dx^j}</math>
Den kvadrerte avstanden til nabopunktet kan derfor skrives som
Linje 421:
: <math> \gamma_{ij} = - g_{ij} + {g_{0i}g_{0j}\over g_{00}} </math>
da er metrikken i det lokale, tredimensjonale rommet til denne observatøren.<ref name = Møller>
Benyttes dette resultatet i det fulle linjeelementet ''ds''<sup>2</sup> til tidrommet, kan det nå skrives på det kompakte formen
Linje 437:
: <math> ds^2 = (1 - \omega^2r^2) dt^2 - 2\omega r^2dt d\theta - dr^2 - r^2 d\theta^2 </math>
hvis skiven roterer med [[vinkelhastighet]] ''ω''.<ref name = Møller/> Det første leddet på høyre side har ''g''<sub>00</sub> ≠ 0 og representerer [[sentrifugalkraft]]en som en observatør på skiven vil føle. Den kjennes ut som en tyngdekraft som tvinger han ut fra sentrum til skiven. Sender en observatør på skiven i en posisjon ''r'' > 0 og den sender et lyssignal inn mot sentrum av skiven, vil dette være [[rødforskyvning|rødforskjøvet]]. Likedan er det andre leddet et uttrykk for [[Corioliskraft|Coriolis-kraften]]. En observatør på skiven som benytter en standard målestav, vil finne at den har en geometri som er [[ikke-euklidsk geometri|ikke-euklidsk]] da omkretsen av skiven er større en 2''π r''.
Det sees også fra den romlige metrikken som i dette eksemplet blir
Linje 458:
En slik ortonormert basis er et '''lokalt aksekors''' eller et ''vierbein'' på tysk (og engelsk) da det består av fire akser i et firedimensjonalt tidrom.<ref name = MTW/>
Fra den inverse transformasjonsmatrisen med elementer ''V<sup> α'</sup><sub>μ</sub> '' som tilfredsstiller
: <math> V_{\;\;\mu}^{\alpha'} V^\mu_{\;\beta'} = \delta^{\alpha'}_{\;\beta'} \;\;\; \text{og} \;\; V^\mu_{\;\alpha'}V_{\;\;\nu}^{\alpha'} = \delta_{\;\nu}^{\mu} </math>,
får man da den tilsvarende sammenhengen
: <math> g_{\mu\nu} = \eta_{\alpha'\beta'}V_{\;\;\mu}^{\alpha'}V_{\;\;\nu}^{\beta'} </math>.
Linje 490:
===Fysiske komponenter===
De ortonormerte komponentene tilsvarer de vanlige, [[Krumlinjete koordinater#Fysiske komponenter|fysiske komponentene]] i et [[Krumlinjete koordinater|krumlinjet
: <math> E = p_{0'} = p_0 V^0_{\;0'}</math>
Linje 516:
: <math> g_{\mu\nu}(x) = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}(x) </math>
hvor avviket eller [[perturbasjon]]en må oppfylle ''h<sub>μν</sub>'' << 1. Men disse koordinatene er i
: <math> h_{\mu\nu} \rightarrow h_{\mu\nu} - \partial_\mu\xi_\nu - \partial_\nu\xi_\mu </math>
Linje 524:
: <math> \partial_\mu h^\mu_{\;\nu} - {1\over 2} \partial_\nu h^\mu_{\;\mu} = 0 </math>
Med dette valget forenkles Ricci-tensoren til
: <math> R_{\mu\nu} = - {1\over 2}\partial^2 h_{\mu\nu} </math>
Linje 534:
hvor ''h = h<sup>μ</sup><sub>μ</sub>'' er sporet av perturbasjonen ''h<sub>μν</sub>''. Ved å definere det modifiserte tensorfeltet
: <math> \bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - {1\over 2}\eta_{\mu\nu}h, </math>
tar da feltligningen den endelige formen
Linje 544:
===Harmonisk gravitasjonsbølge===
[[Fil:Pol.jpg|thumb|400px|Illustrasjon av hvordan en ring med partikler vil bevege seg under påvirkning av de to gravitasjonsbølgene ''h''<sub>+</sub> og ''h''<sub>×</sub>.]]
En plan, harmonisk bølge forplanter seg med en bestemt frekvens ''ω'' i en viss retning gitt ved en bølgevektor '''k'''. Utenfor kilden til bølgen kan man sette {{nowrap|''T<sub>μν</sub>'' {{=}} 0}} og bølgeligningen gir direkte at {{nowrap|''ω {{=}} ck''}}. Dette viser at den beveger seg med [[lyshastigheten]] ''c'', noe som ble bekreftet i 2017 med meget stor nøyaktighet ved observasjon av gravitasjonsbølgen fra en sammensmelting av to [[nøytronstjerne]]r.<ref name = GravWaveSpeed>
Selv etter å ha valgt Hilbert-gaugen, kan man fremdeles foreta spesielle koordinattransformasjoner. Egenskapene til en [[bølge#Plane bølger|plan bølge]] kommer klarest frem ved bruk av en '''TT-gauge''' hvor perturbasjonen ''T<sub>μν</sub>'' kun har komponenter i et plan som står vinkelrett på utbredelsesretningen (T for transvers) og samtidig har spor {{nowrap|''h'' {{=}} 0}} (T for traseløs). Av de opprinnelige ti komponentene til perturbasjonen står det da bare to igjen. De representerer de to frihetsgradene til bølgen som tilsvarer polarisasjon i to forskjellige retninger som står normalt på forplantningsretningen '''k'''.
Linje 571:
== Eksterne lenker ==
* {{Store norske leksikon}}
* [http://www.aftenposten.no/viten/Einsteins-generelle-relativitetsteori-93626b.html ''Einsteins generelle relativitetsteori''], artikkel i [[Aftenposten]], 24. mars 2014.
* C. Hirata, [http://www.tapir.caltech.edu/~chirata/ph236/2011-12/ ''General Relativity''], forelesninger om generell relativitet ved [[Caltech]].
* T. Damour, [https://www.youtube.com/watch?v=Hp05QzrdE9E ''Einstein's Path to General Relativity''], Youtube talk (2024).
{{Fysikk}}
Linje 582:
[[Kategori:1000 artikler enhver Wikipedia bør ha]]
[[Kategori:Vitenskap i 1915]]
[[Kategori:Albert Einstein]]
| |||