キャロル数

キャロル数(Carol number)とは、 $4^{n}-2^{n+1}-1$ の形をした整数である。 $(2^{n}-1)^{2}-2$ とも表せる。小さい方から、キャロル数は

−1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527,… (オンライン整数列大辞典の数列 A093112)

と続く。キャロル数はCletus Emmanuelによって研究され、その友人のCarol G. Kirnonにちなんでキャロル数と名付けられた^[1]^[2]。

二進表現

n > 2 において、n 番目のキャロル数の二進表現は、n − 2 個の連続する 1 と 0 と、n + 1 個の 1 で表される。より数学的には、

\sum _{i\neq n+2}^{2n}2^{i-1}

と書ける。

したがって、例えば3番目のキャロル数である47は101111、4番目のキャロル数である223は11011111などとなる。2n 番目のメルセンヌ数と n 番目のキャロル数の差は $2^{n+1}$ である。この性質は、キャロル数を $(2^{2n}-1)-2^{n+1}$ と表現するとわかりやすい。また、n 番目のKynea数と n 番目のキャロル数の差は 2ⁿ⁺² である。

キャロル素数

7を始めとして、キャロル数は3個おきに7の倍数が並ぶ。したがって、キャロル数は x > 0 において 3x + 2 番目以外で素数になりうる。キャロル数で素数であるもの（キャロル素数）には、7, 47, 223, 3967, 16127 （A091516）がある。

7番目のキャロル数は5番目のキャロル素数で、16127である。また、逆から数字を読んだ72161も素数であり、16127は最小のキャロルエマープである^[3]。 12番目のキャロル数は7番目のキャロル素数で、16769023である。これもまたエマープである^[4]。

2018年2月 (2018-02)現在^[update]知られている最大のキャロル素数は n = 695631番目のキャロル数であり、418812桁である^[5]^[6]この素数は2016年7月にCKSieve と PrimeFormGWのプログラムを使い、Mark Rodenkirchが発見した。44番目のキャロル素数である。

一般化

b進キャロル数を、(bⁿ − 1)² − 2 (n > 0)と定義できる。b進キャロル数は b が偶数のときのみ素数になりうる。もしb が奇数であれば、b 進キャロル数は偶数となり、素数ではない。bⁿ進キャロル数は、b 進キャロル数の一部である。

n ≥ 1 において {(2b)ⁿ−1}² − 2 が素数となるのは、それぞれの b において

2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 159, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 12, 1, 1, 2, 9, 1, 88, 2, 1, 1, 12, 4, 1, 1, 183, 1, 1, 320, 24, 4, 3, 2, 1, 3, 1, 5, 2, 4, 2, 1, 2, 1, 705, 2, 3, 29, 1, 1, 1, 4836, 20, 1, 135, 1, 4, 1, 6, 1, 15, 3912, 1, 2, 8, 3, 24, 1, 14, 4, 1, 2, 321, 11, 1, 174, 1, 6, 1, 42, 310, 1, 2, 27, 2, 1, 29, 3, 103, 20, ...

番目である。

b	b進キャロル数が素数となる n (n が30000までは網羅)	OEIS
2	2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129, 132, 159, 171, 175, 315, 324, 358, 393, 435, 786, 1459, 1707, 2923, 6462, 14289, 39012, 51637, 100224, 108127, 110953, 175749, 185580, 226749, 248949, 253987, 520363, 653490, 688042, 695631, ...	A091515
4	1, 2, 3, 5, 6, 9, 66, 162, 179, 393, 3231, 19506, 50112, 92790, 326745, 344021, ...
6	1, 2, 6, 7, 20, 47, 255, 274, 279, 308, 1162, 2128, 3791, 9028, 9629, 10029, 13202, 38660, 46631, 48257, 117991, ...	A100901
8	1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 43, 44, 53, 57, 105, 108, 131, 145, 262, 569, 2154, 4763, 13004, 33408, 58583, 61860, 75583, 82983, 217830, 231877, ...
10	1, 8, 21, 123, 4299, 6128, 11760, 18884, 40293, ...	A100903
12	3, 29, 51, 7824, 15456, 22614, 28312, 47014, 68835, ...
14	1, 6, 13, 45, 74, 240, 553, 12348, 13659, 50603, ...	A100905
16	1, 3, 33, 81, 9753, 25056, 46395, ...
18	2, 8, 30, 98, 110, 185, 912, 2514, 4074, 10208, 15123, 19395, ...
20	1, 2, 53, 183, 1281, 1300, 8041, 29936, 72820, ...
22	1, 8, 35, 88, 503, 8643, 8743, 14475, ...	A100907
24	2, 27, 92, 4950, 20047, ...
26	159, 879, 4744, 5602, 74387, ...
28	1, 22, 127, 165, 2520, 6492, 6577, 22960, 25528, ...
30	1, 6, 19, 30, 166, 495, 769, 826, 1648, 3993, ...
32	2, 3, 5, 11, 35, 63, 87, 37116, 130698, ...
34	1, 4, 258, ...
36	1, 3, 10, 137, 154, 581, 1064, 4514, 6601, 19330, ...
38	1, 2, 13, 560, 28933, ...
40	4, 15, 39, 138, 2153, 4084, 5639, ...
42	3, 6, 14, 15, 29, 78, 195, 255, 272, 713, 2526, 4852, 10573, ...
44	1, 7, 30, 90, 1288, 1947, 12909, 25786, ...
46	12, 269, 1304, 5172, ...
48	1, 2, 4, 6, 12, 13, 3882, 6123, 15067, 15085, ...
50	1, 3, 4, 9, 31, 66, 115, 430, 1233, 2546, 2674, 6360, 53351, 69033, 69157, ...

2018年2月 (2018-02)現在^[update]一般化したb進キャロル素数で知られている最大のものは (2⁶⁹⁵⁶³¹ − 1)² − 2 である。

参考文献

^ Cletus Emmanuel at Prime Pages
^ Message to Yahoo primenumbers group from Cletus Emmanuel
^ Prime Curios 16127 at Prime Pages
^ Prime Curios 16769023 at Prime Pages
^ Entry for 695631st Carol number at Prime Pages
^ Carol and Kynea Prime Search by Mark Rodenkirch

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Near-Square Prime". mathworld.wolfram.com (英語).
Prime Database entry for Carol(695631)
Carol and Kynea Primes
Carol and Kynea Prime Search

[1] Cletus Emmanuel at Prime Pages

[2] Message to Yahoo primenumbers group from Cletus Emmanuel

[3] Prime Curios 16127 at Prime Pages

[4] Prime Curios 16769023 at Prime Pages

[5] Entry for 695631st Carol number at Prime Pages

[6] Carol and Kynea Prime Search by Mark Rodenkirch

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表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面（英語版）回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
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