[A]@3.5 法向量变换.md

Author: gdgoldlion

第三章：矩阵变换/3.5 法向量变换.md

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+#3.5 法向量变换
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+##3.5.1 法向量变换的问题
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+在一个多边形模型中，含有大量的顶点向量数据。
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+同时，对于一个顶点数据，还有可能其他相关的数据。比如，切线向量（简称切向量）和法线向量（简称法向量）。
+
+这些向量都是相关联的。我们在通过矩阵变换顶点向量的同时，也要相应的变换切向量和法向量。
+
+对于非正交矩阵M，如果使用M来变换法向量，由于非正交矩阵不具备长度和角度不变性，所以无法保证变换后的法向量与切向量垂直！其情况如下图所示：
+
+![替代文本](pic/3-5-1.png "3-5-1.png")
+
+##3.5.2 法向量变换的方法
+
+已知变换矩阵M，则法向量变换矩阵G可以表示为：
+
+<img src="http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?\[G = {\left( {{M^{ - 1}}} \right)^T}\]">
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+###3.5.2.1 法向量变换矩阵推导
+
+已知：变换矩阵M，切向量T，法向量N
+求：变换法向量N的变换矩阵G
+
+解：
+
+由T和N互相垂直，得：N·T=0 ①
+
+设变换后的切向量，法向量，分别为：T',N'
+
+则，有：T'=MT 
+
+由T'和N'互相垂直，得：
+
+N'·T'=(GN)·(MT)=0 
+
+简单推导，得：
+
+<img src="http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?\[\left( {GN} \right) \cdot \left( {MT} \right) = {\left( {GN} \right)^T}\left( {MT} \right) = {N^T}{G^T}MT=0\]">②
+
+由①=②，并削去相同项得：
+
+<img src="http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?\[\begin{gathered}  {N^T}{G^T}MT = {N^T}T \hfill \\  {G^T}M = I \hfill \\  G = {\left( {{M^{ - 1}}} \right)^T} \hfill \\ \end{gathered} \]">
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+###3.5.2.2 法向量变换矩阵推论
+
+由法向量变换矩阵可知，当M为正交矩阵时，G=M。这种情况，可以避免求逆转置矩阵的大量运算。
+
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+<a rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/cn/"><img alt="知识共享许可协议" style="border-width:0" src="https://i.creativecommons.org/l/by-nc-sa/3.0/cn/88x31.png" /></a><br />本作品采用<a rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/cn/">知识共享署名-非商业性使用-相同方式共享 3.0 中国大陆许可协议</a>进行许可。